Что такое интерполяция Лагранжа? Обзор

Интерполяция — это процедура обнаружения дополнительных точек данных в диапазоне дискретных наборов точек данных. Это метод определения приближения математического утверждения с использованием любого промежуточного значения для независимой переменной. Основная цель интерполяции — определить, какие дополнительные данные существуют за пределами полученных данных. Эту стратегию используют многие специалисты, включая фотографов, ученых, математиков и инженеров. Одним из типичных применений является масштабирование изображений, когда интерполируется следующее местоположение пикселя в зависимости от предоставленных положений пикселей на изображении. В этом эссе мы изучим интерполяцию Лагранжа.

Что такое интерполяция Лагранжа?

Теорема интерполяции Лагранжа может быть использована для генерации многочлена, который проходит по группе точек и принимает определенные значения случайным образом. Формула для многочленов n-й степени задается этой теоремой (x), если f(x) известна в дискретных точках xi, I = 0, 1, 2,… Кроме того, она иллюстрирует теорему конструктивным образом. Теорема Лагранжа может быть использована как для равномерно, так и для неравномерно распределенных местоположений. Это указывает на то, что значения xs распределены неравномерно. Это метод оценки математического выражения, который использует любое приближенное состояние для независимой переменной. Интерполяция в основном используется для определения того, какие дополнительные данные могут существовать за пределами полученных данных.

Формула интерполяции Лагранжа

Если у вас есть 2 точки с координатами (x1,y1) и (x2,y2), интерполяция Лагранжа будет выглядеть так:

у – у1= (у2- у1)/(х2-х1) * (х-х1)

Ваша карьера в области аналитики данных уже не за горами!Программа магистратуры по аналитике данныхИзучить программу

Доказательство теоремы Лагранжа

Рассмотрим многочлен n-й степени, представленный следующим выражением:

F(x) = A0 (x-x1) (x-x2) (x-x3)….(x-xn) + A1 (x-x0) (x-x2) (x-x3)….(x-xn) +…….. + An (x-x1) (x-x2) (x-x3)….(x-xn-1)

Теперь подставим значения наших наблюдений xi, чтобы получить значения Ai:

Итак, положим x = x0 и получим A0, как показано ниже:

f(x0) = A0 (x0-x1) (x0-x2) (x0-x2)…. (x0-xn), все остальные члены становятся равными нулю.

В результате A0 = y0/(x0-x1) (x0-x2) (x0-x3)… (x0-xn)

Аналогично, для x1 мы получим

f(x1) = y1 = = A1 (x1-0) (x2-0) (x3-0)…. Другие члены становятся 0 в результате (x1-xn).

В результате A1 = y1/(x1-x0) (x1-x2) (x1-x3)… (x1-xn)

Мы можем извлечь все значения As из A2, A3,… таким образом.

An равно yn/(xn-x0) (xn-x2) (xn-x3)…. (xn-xn-1)

Мы получим интерполяционную теорему Лагранжа, если подставим все значения As в основную функцию:

F(x) = y0 * (x-x1) (x-x2) (x-x3)….(x-xn) + y1 * (x-x0) (x-x2) (x-x3)

….(x-xn)/ (x1-x0) (x1-x2) (x1-x3)….(x1-xn) +……..+ yn (x-x1) (x-x2) (x-x3)….(x-xn-1)/ (xn-x0) (xn-x2) (xn-x3)….(x-xn-1)/ (xn-x2) (xn-x3)… (xn-xn-1)

Свойства интерполяции Лагранжа

• Если G — конечная группа порядка m, то порядок любого aG делит порядок G, и am = e.
• Если порядок конечной группы G является простым, то она не имеет соответствующих подгрупп.
• Циклическая группа — это группа простого порядка (порядок имеет только два делителя).

Примеры интерполяции Лагранжа

Учитывая эти три точки, мы хотим интерполировать (x) = x2 по области 1 <= x<= 3.

х0=1; f(x0)=1;

х1=2; е(х1)=4;

х2=3; f(x2)=9;

L(x) = 1*((x-2)/(1-2))*((x-3)/(1-3)) + 4*((x-1)/(2-1)*(x-3)(2-3)) + 9*((x-1)/(3-1)*(x-2)/(3-2)) = x^2

Когда использовать интерполяцию Лагранжа

Эта формула используется для определения значения функции, даже если параметры неравномерно распределены. Эта формула используется для вычисления значения независимой переменной x, которая соответствует заданному значению функции. Одним из распространенных применений является масштабирование изображений, где интерполируется следующая позиция пикселя на основе заданных позиций пикселей в изображении.

Ваша карьера в области аналитики данных уже не за горами!Программа магистратуры по аналитике данныхИзучить программу

Преимущества интерполяции Лагранжа

При интерполяции нескольких наборов данных по одним и тем же точкам данных форма Лагранжа более эффективна. Эта формула используется для определения значения функции, даже если параметры неравномерно распределены. Эта формула используется для вычисления значения независимой переменной x, которое соответствует заданному значению функции.

Изучите более дюжины инструментов и навыков анализа данных с помощью Программы профессионального сертификата по анализу данных и получите доступ к мастер-классам преподавателей Purdue и экспертов IBM. Зарегистрируйтесь и добавьте звезду в свое резюме по анализу данных прямо сейчас!

Заключение

Теорема Лагранжа обобщает известные математические принципы, такие как идея о том, что линия может быть однозначно задана двумя точками, график квадратичного полинома — тремя точками и т. д. Она используется в технике увеличения изображений для оценки неизвестных данных путем попытки объяснить тенденцию данных изображения с помощью интерполяционных полиномов. Это помогает в увеличении изображений.

Формулы интерполяции Ньютона вперед и назад могут использоваться только тогда, когда значения x равноудалены. Если значения x равноудалены или нет, мы используем формулу интерполяции Лагранжа. В этом случае данные были интерполированы с использованием полиномиальных данных, переменной с использованием Wolfram Language. Интерполирующие полиномы Лагранжа часто используются при разработке формул Ньютона-Котеса. Узнайте больше о таких темах аналитики данных, как интерполяция, с помощью нашего PGP в аналитике данных. Начните свою карьеру в области данных сегодня!

Часто задаваемые вопросы

1. Что вы подразумеваете под интерполяцией Лагранжа?

Используя интерполяционную формулу Лагранжа, можно получить полином Лагранжа. полином, который принимает определенные значения в каждой заданной позиции. Это полиномиальное выражение функции f в n-й степени (x). Новые точки данных располагаются с использованием интерполяционного подхода внутри границ дискретного набора существующих точек данных.

2. Какова цель интерполяции Лагранжа?

Функции формы кубического элемента напрямую определяются интерполяционными функциями Лагранжа.

3. Где используется интерполяция Лагранжа?

Эту формулу все еще можно использовать для получения значения функции, даже если параметры распределены неравномерно. На основе значения функции значение независимой переменной x определяется с помощью этой формулы.

4. Что такое формула интерполяционного полинома Лагранжа?

у – у1= (у2- у1)/(х2-х1) * (х-х1)

5. Каково значение уравнения Лагранжа?

Тот факт, что уравнение Эйлера-Лагранжа можно использовать для получения уравнений движения системы в любом наборе координат, кроме обычных декартовых координат, является ключевой особенностью лагранжевой формулировки.

6. Что такое принцип Лагранжа?

Формула для лагранжиана L имеет вид L = TV, где T обозначает кинетическую энергию системы, а V — ее потенциальную энергию. В общем случае потенциальная энергия системы зависит от координат каждой из ее составляющих частиц; это обозначается как V = V. (x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2, . . . ).